♐ CSP_J 组真题
2017年
4. 跳房子

线上OJ:

一本通:http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1417 (opens in a new tab)
AcWing:https://www.acwing.com/problem/content/474/ (opens in a new tab)
洛谷:https://www.luogu.com.cn/problem/P3957 (opens in a new tab)

核心思想

首先、本题中提到 “ 至少 要花多少金币改造机器人,能获得 至少 k分 ”。看到这样的话语,基本可以考虑要使用 二分答案
那么,本题中的 答案 是什么?就是: 在确定维修金币g的情况下,能获得的分数是否会> k 。 由于本题中的 格子在同一条直线上,且只能从左往右跳,所以 每一种答案 都可以使用 动态规划 来解决。
而且动态规划的 dp 方程也很好找,因为 当前格子的最高分 肯定是由 之前某个最高分的格子跳过来的,即:

💡

dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i])dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i])

所以,我们从 i 号格子前面的第一个格子开始查找得分最高的格子。在这里需要注意的是:不是所有的 j 都需要查找。只有当 j 的跳跃区间 [d-g, d+g] 能够触达(或包含)i坐标 的时候,这个 j 才能用于更新dp[i]。
以下三个举例(及配图)便于理解j和i的关系

举例1: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [2,4],也就是 j 能跳到的地方为[7,9]),所以此时 j 号格子无法触达 i,所以 j 号格子不需要用于更新dp[i]。
举例2: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [2,6],也就是 j 能跳到的地方为[7,11]),所以此时 j 号格子可以触达 i,所以 j 号格子需要用于更新dp[i]。
举例3: i 号格子位于坐标10,j 号格子位于坐标5(此时 j 的跳跃区间为 [6,8],也就是 j 能跳到的地方为[11,13]),所以此时 j 号格子无法触达 i,所以 j 号格子不需要用于更新dp[i]。

综上所述,有效的 j 点应该满足
dg<=x[i]x[j]<=d+gd-g < = x[i] - x[j] < = d+g
我们令左边界为 l = d - g,右边界为 r = d + g,则仅当 满足①和②式的 j 点 才参与dp[i]的运算

x[i]x[j]>=lx[i] - x[j] > = l; ①
x[i]x[j]<=rx[i] - x[j] < =r ; ②

题解代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 500005
 
using namespace std;
 
int n, d, k;
 
ll x[MAXN], s[MAXN], dp[MAXN];
 
// 检查花费g个金币进行改造后,最高得分是否会超过 k
bool check(int g)
{
    // 计算在花费g金币下,机器人每次向右跳的距离边界[l, r] = [d-g, d+g]。注:左边界不能小于1 
    int l = max(1, d - g);  // 机器人每次能跳跃的最小距离 
    int r = d + g;			// 机器人每次能跳跃的最大距离
 
    memset(dp, 0xaf, sizeof(dp));  // 全部初始化为一个很小的数。
 
    dp[0] = 0; // 数据即分数都从第一个格子开始,所以第0个格子初始化为0分 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        // 从i的前一个格子开始枚举j,直到j枚举到起点(如果i和j之间的距离已经超过弹跳上限r,则没必要继续j--了) 
        for(int j = i - 1; (j >= 0) && (x[i] - x[j] <= r); j --)
        {
            // 如果j号格子距离i号格子不能太近,至少要≥机器人弹跳的最小距离”,否则就j--,寻找更远的j 
			if(x[i] - x[j] >= l)
			{
				// i的最高得分应该是从前面能跳过来的格子j里得分最高的格子跳过来的
	            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + s[i]);	
	            if(dp[i] >= k) return true;
			}            
        }
    }
 
    return false;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);
 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld%lld", &x[i], &s[i]);
 
    // 由于x[i]的坐标范围可到 10^9,在极端情况下有可能前面全是负值,只有最后一个x[n]是正值,此时要搜索的答案g也会达到 10^9(即一步跳到最后一个正值)。所以二分答案时 r 应取到 x[n]。但如此一来,效率就变低了,只能拿到80%的分数
    int l = 0, r = x[n], mid, ans = -1;  
 
    while(l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;
 
        if(check(mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else l = mid + 1;
    }
 
    cout << ans << endl;
 
    return 0;
}
 
💡

以上方法只能拿到80分,因为二分答案的右区间 r 取值为 x[n],数据过于庞大。

备注:这道题想 混分 有点 ,虽然参考输入样例2中给出了输出 -1 的场景(即:所有正的分数总和依然达不到目标分数k),但是实际的测试数据中并没有这种情况,所以这道题骗分骗不到。