线上OJ：

一本通：1914：【01NOIP普及组】数的计数 (opens in a new tab)
AcWing：5496. 数的计算 (opens in a new tab)

核心思想：

1、样例中给到了 $f[6] = 6$。其实这里包含了 $f[3]=2， f[2]=2, f[1]=1$, 以及6本身。

注解：按照题意，6前面的数字只能是3,2,1，或者不放（不放就是6本身）
当6前面放3的时候，那3有多少种可能性，就都可以叠加在这里。即 $f[6] += f[3]$
同理，当6前面放2的时候，2的所有可能性也都叠加在这里 $f[6] += f[2]$
同理，当6前面放2的时候，2的所有可能性也都叠加在这里 $f[6] += f[1]$
最后，加上6自己本身，所以
$f[6] = f[3] + f[2] + f[1] + 1$

2、综上所述，我们可以从 $f[1]$ 开始逐步计算每个 $f[i]$，直到 $f[N]$（时间复杂度是 $O(1000*1000)=O(10^6)）$
3、最后根据输入的 n，直接输出 $f[n]$ 即可。

题解代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 1000;
int n, f[N];
 
int main()
{
    f[1] = 1;  // 初始化 f[1]，就只有自己
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {
        int x = i / 2;  // 针对每一个i，找到它不能超过的一半
        for(int j = 1; j <= x; j++)
            f[i] += f[j];   // 累加
        
        f[i]++;  // 最后加上自己    
    }    
 
    scanf("%d", &n);    
    printf("%d", f[n]);
    return 0 ;
}