09pj3xibaofenlie – NOIP Copilot

线上OJ：

一本通：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1947 (opens in a new tab)
AcWing：https://www.acwing.com/problem/content/description/441/ (opens in a new tab)
洛谷：https://www.luogu.com.cn/problem/P1069 (opens in a new tab)

核心思想：

本题的意思是 在所有的 $Si$ 中，找一个 $Si^t$ 最早能被 $m1^{m2}$ 整除。
上述若能整除，则说明:
1、 $m1$ 的质因数肯定是 $Si$ 质因数的子集 （换句话说，m1 的质因数都是 Si 的因数。如果 $m1$ 中某个质因数不能整数 $Si$ ，则整个 $Si^t$ 不可能被 $m1^{m2}$ 整除）
2、若 $m1$ 的质因数本身是多次幂（比如 $m1$ 为40，则 $m1 = 2*2*2*5 = 2^3*5$ ，即质因数2的幂次为3，质因数5的幂次为1）。若此时的 m2 是2，则 $m1^{m2} = (2^3*5^1)^2 = (2^{3*2})*(5^{1*2})=2^6*5^2$ 。

如果此时 $Si$ 的质因数中，2有6个，5有2个，则 1 秒后到达 $Si$ 即可直接整除 $m1^{m2}$
如果此时 Si 的质因数中，2有3个，5有1个，则2个周期后可整除 $m1^{m2}$
如果此时 Si 的质因数中，2有2个，5有1个，则3个周期后才能整除 $m1^{m2}$

故， $Si$ 的分裂周期为 $Si$ 的质因数中分裂周期最多的那个

关键步骤：

1、先计算 $m1$ 的质因数，存储到数组 $p[i]$ 中；用 $c[i]$ 记录质因数 $p[i]$ 的个数。
2、如果是质数，要单独考虑
3、如果m1为1，则无需计算，直接输出
4、在读入每个 $Si$ 时按以下步骤进行：
a. 检查m1的每一个质因数是否都是 Si 的因数，如果有一个不是，则Si不可能被除尽
b. 检查每一个质因数在 Si 中出现的次数
c. 求出每一个质因数需经过几个周期方能被 $m1$ 中对应的幂次整除

举例： $Si$ 为800，m1为40，m2 是2。则 $Si=2^5*5^2，m1^{m2} =2^6*5^2$ 。细胞 Si 经过一个周期变为 $2^5*5^2$ ，无法被 $2^6*5^2$ 整除，经过两个周期变为 $2^{10}*5^4$ ，可以被 $2^6*5^2$ 整除。所以 Si=800的需要2个周期。

d. 找出 Si 的所有质因数中分裂周期最多的那个
5、所有的 Si 都读完后，找出分裂周期最小的数值，就是本题的答案。

题解代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
 
const int N = 30005;
 
int n, m1, m2, s, ans, maxn;
// p[i]记录m1的第i个质因数，c[i]表示m1的第i个质因数的个数。比如12=2*2*3,所以p[1]=2,c[1]=2,p[2]=3,c[2]=1
int p[N], c[N], cnt = 0; // cnt记录m1的质因数的个数。比如 12的质因数是2和3，则cnt=2
bool isprime = true; // m1是否为质数
 
int main()
{
    scanf("%d %d %d", &n, &m1, &m2);
    if(m1 == 1)  // 如果m1为1，说明就1个试管，直接放即可
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
 
    int x = m1;
    
    for(int i = 2; (i*i <= m1) && x; i++) // 求出m1的所有质因数，以及每个质因数的个数
    {
        if( x % i == 0 ) // 如果存在i能整除m1
        {
            isprime = false;  // 如果找到一个质因数，则m1不是质数
            p[++cnt] = i; // 将质因数 i 存到p数组里，p数组从p[1]开始
        }
        while( x % i == 0 )
        {
            c[cnt]++; // 记录m1的质因数 i 的个数
            x /= i;
        }        
    }
    
    if(isprime) // 如果是质数，则上述for循环无法找到质因数。
    {
        p[++cnt] = m1; // 质数的质因数只有自己
        c[cnt] = 1;
    }
 
    ans = INF;
    while(n--) // 读入n个数，逐次判断
    {
        maxn = -INF; // 每一轮开始前，先初始化。maxn 记载读入s需要分裂的周期
        bool flag = true;
        scanf("%d", &s);
        for(int i = 1; i <= cnt && s; i++)  // 检查m1的每一个质因数是否都是s的因数
        {
            int a = 0;
            if(s % p[i]) // 如果m1的质因数p[i]不是s的因数，则s不可能被m1^m2除尽
            {
                flag = false;
                break;
            }
 
            while(s % p[i] == 0)  // 如果能除尽，则统计s内有多少个p[i]
            {
                a++;
                s /= p[i];
            }
            maxn = max(maxn, (c[i]*m2 + a - 1)/a); // s的分裂周期为s的质因数中分裂周期最多的那个。举例：质因数2需要分裂5次能满足，质因数3需要分裂2次就能满足，则s的分裂周期为5
        }
        if(!flag) continue;
        ans = min(ans, maxn);  // 在所有的s种，找一个分裂周期最小的
    }
    
    if(ans == INF) printf("-1\n");
    else  printf("%d\n", ans);
 
    return 0;
}

2. 分数线划定 4. 道路游戏