解法一：动态规划

1、设 f[i][j]: i表示进栈的个数，j表示“进栈的i个”中出栈的个数。所以 j≤i

举例：
f[1][0]=1：进栈1个元素，出栈0个元素。此时只有1种可能，就是进栈的唯一元素不动。
f[1][1]=1：进栈1个元素，出栈1个元素。此时只有1种可能，就是把进栈的唯一元素直接出栈。
f[2][0]=1：进栈2个元素，出栈0个元素。此时只有1种可能，就是进栈的两个元素都不动。
f[2][1]：进栈2个元素，出栈1个元素。此时有2种可能，第一种是在f[1][1]的情况下第2个元素进栈；第二种可能是在f[2][0]的情况下出栈一个元素
......

2、根据以上推导，可以得到动态转移方程：$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] （ j≤i）$ 即 “进栈 i 个，出栈 j 个” 由 两种 状态转移而来：

① 进栈 i-1 个，出栈 j 个（此时再进栈1个就好）；
② 进栈 i 个，出栈 j-1 个（此时再出栈1个就好）

3、初始化：不管进栈几个，出栈为0的，都只有1种可能性，就是都不出
4、注意 j≤i
5、最后要输出的结果就是 f[n][n]，表示进栈n个，出栈n个的可能性
6、注：动态规划的好处是可以求出任意进栈出栈 f[i][j] 的数量。

题解代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
 
const int N = 20;
 
ll f[N][N];
// f[i][j]:  i表示进栈的个数，j表示“进栈的i个”中出栈的个数。所以j<=i
// f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i <= n; i++)  f[i][0] = 1;
 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
 
    printf("%d", f[n][n]);
    return 0;
}